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一种使用牛顿插值法进行移液器校准数据处理的方案

常用的函数逼近方法有插值和拟合法等。客户在收到校准证书后, 采用插值法, 能够在保证计算准确度的同时, 更方便地进行移液器校准数据的计算。

一、牛顿插值法介绍

在各种插值计算方法中, 笔者认为牛顿插值法可以适用于移液器的校准数据计算。牛顿插值法的特点在于:当客户对量程段内计量准确度需求相同时, 平均分配校准点即可。当重点使用移液器某一量程段的同时兼顾到该量程段以外的计量要求时, 可以按需分配校准点分布, 提高目标量程段的计量准确度。

以移液器来做插值法举例:假设对移液器测量区间[a, b]的所有点进行校准, 得出一条关于容量值 (x) 和修正值或不确定度 (y) 的函数y=f (x) , 它在移液器的测量区间[a, b]上有函数值。插值法就是通过有限的容量校准点数据构造一个简单的函数pn (x) , 作为f (x) 的近似表达式, 以求出区间[a, b]内任意目标插值点的修正值或不确定度。

牛顿插值法计算插值数据的核心就是利用差商作为牛顿插值多项式的系数 (差商是函数增量与其自变量增量的比) , 以计算

首先, 需要进行差商的计算, 各阶差商表达式为:

一阶差商:

一种使用牛顿插值法进行移液器校准数据处理的方案

在计算出差商后, 将各阶段差商代入牛顿插值多项式, 即可求出目标点的值。

牛顿插值多项式如下:

一种使用牛顿插值法进行移液器校准数据处理的方案

表1 (20~200) μL移液器实测、差值计算结果对比表

表1 (20~200) μL移液器实测、差值计算结果对比表

二、实验和分析

1. 实验描述及数据

为验证插值法的适用性, 选择 (20~200) μL规格移液器进行校准, 不确定度评定过程中主要考虑测量重复性、天平允许误差、天平分度值、水温影响及移液器容量点人为调定等不确定度分量。

每支移液器由标称最小容量至最大容量等间距设置10个校准点, 另设置3个插值点, 以上每点重复测量10次, 插值点获得实测数据后, 采用与插值点邻近的5个测量点数据, 构造四阶牛顿插值公式并计算插值点数值, 对插值点实测数据与插值计算数据进行比较。数据图表如表1所示。

2. 实验数据分析

数据表中, 各点插值计算容量值、修正值基本接近或等于实测容量值、修正值, 各点插值计算容量相对误差基本接近或等于实测容量相对误差, 在110μL测量点存在本次实验最大差异, 最大差异相对测量点容量的相对误差为-0.08%。插值计算不确定度基本接近实测不确定度, 在70μL测量点存在本次实验中最大差异, 最大差异点相对容量点的相对误差为-0.03%。可以较好地完成修正值和不确定度的计算。

在图1、图2中, 插值修正值曲线与实测修正值曲线均处于该点参考允许误差内, 两条曲线基本重合, 插值曲线能够较好地替代实测修正值曲线。插值不确定度曲线与实测不确定度曲线均处于符合性评定参考线以下, 可以满足符合性要求。两条曲线基本一致, 插值曲线能够较好地替代实测不确定度曲线。

由上述图表的综合情况可看出, 在规定的条件下, 使用稳定的测量系统, 由同一操作人员在同一地点对移液器开展校准活动后, 使用插值计算方法可以利用较少的测量点计算整个测量范围内的测量数据, 极大地方便了用户掌握计量器具的性能。

三、小结

实际应用中, 牛顿插值法使用三阶牛顿插值公式, 即4个测量点就能够得到较理想的预估值, 选择合理的测量点和适当的插值法可以更快速、可靠地推算插值点数据, 这需要依据客户的具体计量要求进行判断。例如, 当用户对移液器某量程段有精确计量需求时, 可以增加该量程段内的实际测量点, 以达到插值函数对实际校准数据更精确的推算, 提供更准确的校准数据。这就是插值法具有的实际意义。

图1 (20~200) μL移液器修正值对比图

图1 (20~200) μL移液器修正值对比图
 

图2 (20~200) μL移液器不确定度对比图

图2 (20~200) μL移液器不确定度对比图


注:1.修正值对比图中, 为便于图表分析、判断, 测量点的参考相对允许误差采用规程中与测量点容量值接近且最小的相对允许误差作为参考值。2.不确定度对比图中, 为便于图表分析、判断, 依照符合型评定规则, 较严格地采用规程中与测量点容量值接近且最小的相对允许误差的1/5为参考值。

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