粗大误差判断准则运用条件的相关分析

粗大误差产生的原因既有测量人员的主观因素, 如读错、记错、写错、算错等, 又有环境干扰的客观因素, 如测量过程中突发的机械振动, 温度的大幅度波动, 电源电压的突变等, 使测量仪器示值突变, 产生粗大误差。此外, 使用有缺陷的计量器具, 或者计量器具使用不正确, 也是产生粗大误差的原因之一。含有粗大误差的测量结果视为离群值, 按数据统计处理准则来剔除。粗大误差定义上是指在对一个被测量重复观测所获得的若干观测结果中, 出现了与其他值偏离较远且不符合统计规律的个别值, 通常是由于测量过程中不可重复的突发事件所致, 这也说明粗大误差可能来源于不同的主体, 或属于意外、偶然的测量错误。粗大误差的剔除分两类:一类为物理判别法, 即若确认某可疑值是由于写错、记错、误操作等, 或者是外界条件的突变产生的, 可以剔除。另一类为统计判别法, 它是建立在随机误差有界性基础上, 首先给定一个置信概念, 如99.73%, 确定相应的置信限, 凡超出这个限的误差就认为不属于随机误差, 而是粗大误差, 应剔除。经上述方法判断还不能肯定是异常值时, 均应保留, 不能剔除。统计判别法最常见的3个准则为:拉依达准则 (3σ准则) 、格拉布斯准则、狄克逊准则。

粗大误差统计判别法最常见的3个准则中, 其各自的运用条件为n>50的情况下, 3σ准则较简便;3<n<50的情况下, 格拉布斯准则效果较好, 适用于单个异常值;有多余一个异常值时狄克逊准则较好。拉依达准则 (3σ准则) 的运用条件在各种相关资料的描述中大多归结为不能太少, 或为大于10次或为大于50次, 甚至于2017版《二级注册计量师基础知识及专业实务》中对拉依达准则 (3σ准则) 不作过多提及。在基层对数据的重复观测次数一般设10次为常见现象, 比如对被测量进行了10次独立重复测量, 得到以下测量值:5.31、5.32、5.30、5.35、5.38、5.31、5.32、5.54、5.37、5.36, 请计算算术平均值和算术平均值的实验标准偏差。

(1) 计算算术平均值

(3) 计算残差平方和

(4) 计算实验标准偏差

所以实验标准偏差为

s (x) =0.0663 (自由度为n-1=9)

(5) 因为最大残差νi=xi-=0.18<3s (x) =0.198, 所以此观测列数据中不存在异常值。

(6) 然而应用格拉布斯准则运算判断5.54一定为异常值。

上述运算结果出现了矛盾的结论, 为此对上述问题作以下数学分析, 以期明确拉依达准则 (3σ准则) 的运用条件:

贝塞尔公式为

根据勾股定理:, 也就是3s (x) 恒大于任何一个残差绝对值 (包括最大残差绝对值) , 所以当n≤10时, 从上述分析可以看出即使存在粗大误差, 拉依达准则 (3σ准则) 一定不能作出正确的判断。经上述分析, 拉依达准则 (3σ准则) 在判断中有局限性, 那观测数据n应为多少才具有可信度呢?比对格拉布斯准则, 当n=50以及显著水平为α=l-p=0.05时, G (α, n) =2.96才和拉依达准则 (3σ准则) 中的系数3相当。

LINK链接格拉布斯准则

格拉布斯准则是以正态分布为前提的, 理论上较严谨, 使用也方便。

某个测量值的残余误差的绝对值|Vi|>Gg, 则判断此值中有粗大误差, 应以剔除, 此即格拉布斯准则。